底の変換公式のわかりやすい証明

対数法則の一つに底の変換公式があります。

\[ \log_a{x}=\frac{\log_b{x}}{\log_b{a}} \]

これは次の対数法則から証明できます。

\[ (1) \quad a^{\log_a{x}}=x \] \[ (2) \quad \log_a{x^n}=n\log_a{x} \]

その他の対数法則は指数法則と対数法則の公式を参照。

底の変換公式の証明

\[ (\log_a{x})(\log_b{a})\\ =\log_b{a^{\log_a{x}}}\ \ \cdots\ (2)\\ =\log_b{x}\ \ \cdots\ (1) \]

となり、両辺を $\log_b{a}$ で割って

\[ \log_a{x}=\frac{\log_b{x}}{\log_b{a}} \]

となります。

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