3の倍数の性質と見分け方(3の倍数早見表つき)

ある整数が 3 の倍数であるかどうかは、その数の各位の数を足した値が 3 の倍数であるかどうかで調べられます。

例えば 123 は各位の数を足すと 1 + 2 + 3 = 6 となり、6 は 3 の倍数です。したがって 123 は 3 の倍数となります。

今度は 75912 を考えてみましょう。各位の数を足すと 7 + 5 + 9 + 1 + 2 = 24 となり、24 は 3 の倍数です。したがって 75912 は 3 の倍数となります。

問題

次の数が 3 の倍数であるか確かめなさい。

(1) 111

(2) 765

(3) 392

(4) 5827

(5) 6195

解答

(1) 1 + 1 + 1 = 3 となり、3 は 3 の倍数であるから 111 は 3 の倍数

(2) 7 + 6 + 5 = 18 となり、18 は 3 の倍数であるから 765 は 3 の倍数

(3) 3 + 9 + 2 = 14 となり、14 は 3 の倍数でないから 765 は 3 の倍数でない

(4) 5 + 8 + 2 + 7 = 22 となり、22 は 3 の倍数でないから 5827 は 3 の倍数でない

(5) 6 + 1 + 9 + 5 = 21 となり、21 は 3 の倍数であるから 6195 は 3 の倍数

追記

上の問題から 3 桁の 3 の倍数について重要な性質がわかります。

  1. 111 のように各位の数が同じ 3 桁の整数は 3 の倍数
  2. 765 のように各位が連続している 3 桁の整数は 3 の倍数

1 の例としては

111
222
333
444
555
666
777
888
999

があります。各位の数が同じであるため、各位の数を足すと必ず 3 の倍数となります。

2 の例としては

123
234
345
456
567
678
789
987
876
765
654
543
432
321

があります。各位が連続していると、各位の合計値は中央の数を 3 倍した値になるためです。

ではなぜ各位の数の合計値が 3 の倍数であると、その数自体も 3 の倍数となってしまうのでしょうか?

証明

まず 2 桁の数から考えてみます。

2 桁の数を a × 10 + b と表します。ここで a は十の位、b は一の位です。例えば 34 は 3 × 10 + 4 となります。

各位の合計は a + b ですが、これが 3 の倍数であるとしましょう。すると a + b = 3m(m は整数)となります。すると

a × 10 + b
= a × 9 + a + b
= a × 9 + 3m
= 3 (3a + m)

となり a × 10 + b が 3 の倍数であるとわかります。3 桁の数も 4 桁の数も同様に証明できます。

3の倍数早見表

multiple3

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