3の倍数の性質と見分け方(3の倍数早見表つき)

ある整数が $3$ の倍数であるかどうかは、その数の各位の数を足した値が $3$ の倍数であるかどうかで調べられます。

例えば $123$ は各位の数を足すと $1 + 2 + 3 = 6$ となり、$6$ は $3$ の倍数です。したがって $123$ は $3$ の倍数となります。

今度は $75912$ を考えてみましょう。各位の数を足すと $7 + 5 + 9 + 1 + 2 = 24$ となり、$24$ は $3$ の倍数です。したがって $75912$ は $3$ の倍数となります。

問題

次の数が $3$ の倍数であるか確かめなさい。

(1) $111$

(2) $765$

(3) $392$

(4) $5827$

(5) $6195$

解答

(1) $1 + 1 + 1 = 3$ となり、$3$ は $3$ の倍数であるから $111$ は $3$ の倍数

(2) $7 + 6 + 5 = 18$ となり、$18$ は $3$ の倍数であるから $765$ は $3$ の倍数

(3) $3 + 9 + 2 = 14$ となり、$14$ は $3$ の倍数でないから $765$ は $3$ の倍数でない

(4) $5 + 8 + 2 + 7 = 22$ となり、$22$ は $3$ の倍数でないから $5827$ は $3$ の倍数でない

(5) $6 + 1 + 9 + 5 = 21$ となり、$21$ は $3$ の倍数であるから $6195$ は $3$ の倍数

追記

上の問題から $3$ 桁の $3$ の倍数について重要な性質がわかります。

① $111$ のように各位の数が同じ $3$ 桁の整数は $3$ の倍数
② $765$ のように各位が連続している $3$ 桁の整数は $3$ の倍数

①の例としては

\begin{equation} 111 \\ 222 \\ 333 \\ 444 \\ 555 \\ 666 \\ 777 \\ 888 \\ 999 \end{equation}

があります。各位の数が同じであるため、各位の数を足すと必ず $3$ の倍数となります。

②の例としては

\begin{equation} 123 \\ 234 \\ 345 \\ 456 \\ 567 \\ 678 \\ 789 \\ 987 \\ 876 \\ 765 \\ 654 \\ 543 \\ 432 \\ 321 \end{equation}

があります。各位が連続していると、各位の合計値は中央の数を $3$ 倍した値になるためです。

ではなぜ各位の数の合計値が $3$ の倍数であると、その数自体も $3$ の倍数となってしまうのでしょうか?

証明

まず $2$ 桁の数から考えてみます。

$2$ 桁の数を $a \times 10 + b$ と表します。ここで $a$ は十の位、$b$ は一の位です。例えば $34$ は $3 \times 10 + 4$ となります。

各位の合計は $a + b$ ですが、これが $3$ の倍数であるとしましょう。すると $a + b = 3m$($m$ は整数)となります。すると

\begin{equation} a \times 10 + b \\ = a \times 9 + a + b \\ = a \times 9 + 3m \\ = 3(3a + m) \end{equation}

となり $a \times 10 + b$ が $3$ の倍数であるとわかります。

$3$ 桁の数も $4$ 桁の数も同様に証明できます。

3の倍数早見表

multiple3

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