3の倍数の性質と見分け方(3の倍数早見表つき)

ある整数が3の倍数であるかどうかは、その数の各位の数を足した値が3の倍数であるかどうかで調べられます。

例えば123は各位の数を足すと1+2+3=6となり、6は3の倍数です。したがって123は3の倍数となります。

今度は75912を考えてみましょう。各位の数を足すと7+5+9+1+2=24となり、24は3の倍数です。したがって75912は3の倍数となります。

計算

計算

問題

次の数が3の倍数であるか確かめなさい。

  1. 111
  2. 765
  3. 392
  4. 5827
  5. 6195

解答

  1. 1+1+1=3となり、3は3の倍数であるから111は3の倍数
  2. 7+6+5=18となり、18は3の倍数であるから765は3の倍数
  3. 3+9+2=14となり、14は3の倍数でないから765は3の倍数でない
  4. 5+8+2+7=22となり、22は3の倍数でないから5827は3の倍数でない
  5. 6+1+9+5=21となり、21は3の倍数であるから6195は3の倍数

追記

上の問題から3桁の3の倍数について重要な性質がわかります。

  1. 111のように各位の数が同じ3桁の整数は3の倍数
  2. 765のように各位が連続している3桁の整数は3の倍数

1の例としては

111
222
333
444
555
666
777
888
999

があります。各位の数が同じであるため、各位の数を足すと必ず3の倍数となります。

2の例としては

123
234
345
456
567
678
789
987
876
765
654
543
432
321

があります。各位が連続していると、各位の合計値は中央の数を3倍した値になるためです。

ではなぜ各位の数の合計値が3の倍数であると、その数自体も3の倍数となってしまうのでしょうか?

証明

まず2桁の数から考えてみます。

2桁の数をa×10+bと表します。ここでaは十の位、bは一の位です。例えば34は3×10+4となります。

各位の合計はa+bですが、これが3の倍数であるとしましょう。するとa+b=3m(mは整数)となります。すると

a×10+b
=a×9+a+b
=a×9+3m
=3(3a+m)

となりa×10+bが3の倍数であるとわかります。3桁の数も4桁の数も同様に証明できます。

3の倍数早見表

multiple3

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