不等式の性質と一次不等式の解き方

不等式の性質

・ $a \gt b$ → $a+c \gt b+c$
・ $a \gt b$ → $a-c \gt b-c$

・ $a \geqq b$ → $a+c \geqq b+c$
・ $a \geqq b$ → $a-c \geqq b-c$

・ $a \gt b, \mbox{ } c \gt 0$ → $ac \gt bc$
・ $a \gt b, \mbox{ } c \gt 0$ → $\dfrac{a}{c} \gt \dfrac{b}{c}$

・ $a \geqq b, \mbox{ } c \gt 0$ → $ac \geqq bc$
・ $a \geqq b, \mbox{ } c \gt 0$ → $\dfrac{a}{c} \geqq \dfrac{b}{c}$

ここから要注意

・ $a \gt b, \mbox{ } c \lt 0$ → $ac \lt bc$ ・ $a \gt b, \mbox{ } c \lt 0$ → $\dfrac{a}{c} \lt \dfrac{b}{c}$

・ $a \geqq b, \mbox{ } c \lt 0$ → $ac \leqq bc$ ・ $a \geqq b, \mbox{ } c \lt 0$ → $\dfrac{a}{c} \leqq \dfrac{b}{c}$

一次不等式の解き方のルール

解き方のルール ①変数は変数、数は数でまとめる ②変数の係数が正になるように調整する

一次不等式の基本形

\begin{eqnarray}
2x & \geqq & 6 \
x & \geqq & 3
\end{eqnarray}

変数と数が分かれている時は、変数についている係数で両辺を割ります。

一次不等式の応用(非分離型)

\begin{eqnarray}
2x+1 & \geqq & 7 \
2x & \geqq & 7-1 \
2x & \geqq & 6 \
x & \geqq & 3
\end{eqnarray}

解き方のルール①にしたがって1を7がある右辺に移す。変数と数が左辺と右辺に分かれたところで割る。

一次不等式の応用(マイナス係数)

変数にマイナスがついているパターンは要注意。解き方のルール②にしたがって変数を移し、マイナス係数をプラス係数にする。

\begin{eqnarray}
-2x & \geqq & 6 \
-6 & \geqq & 2x \
-3 & \geqq & x
\end{eqnarray}

ちなみに以下は間違った答えです。

\begin{eqnarray}
-2x & \geqq & 6 \
x & \geqq & -3
\end{eqnarray}

なぜ間違いか考えてみましょう。