二項定理とパスカルの三角形(二項展開の二項係数の求め方)

二項定理 \[ (a+b)^n = {}_n C _0 a^{n} + {}_n C _1 a^{n-1} b + {}_n C _2 a^{n-2} b^2 + \cdots + {}_n C _r a^{n-r} b^r + \cdots + {}_n C _{n-1} a b^{n-1} + {}_n C _n b^n \]

2つの数の和(または差)のべき乗の展開を二項展開、二項展開の係数を二項係数という。二項定理は二項展開が上の式で表されるという定理です。また二項定理の途中に出てくる項 ${}_n C _r a^{n-r} b^r$ を一般項という。

二項展開の一般項 \[ {}_n C _r a^{n-r} b^r \]

二項定理から二項係数は

${}_n C _0,\ {}_n C _1,\ {}_n C _2,\ \cdots \ ,\ {}n C {n-1},\ {}_n C _n$

となっています。

パスカルの三角形

以下の数のピラミッドをパスカルの三角形という。

[
\ \ \ \ \ 1 \ 1 \
\ \ \ \ 1 \ 2 \ 1 \
\ \ \ 1 \ 3 \ 3 \ 1 \
\ \ 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 \
\ 1 \ 5 \ 10 \ 10 \ 5 \ 1 \
1 \ 6 \ 15 \ 20 \ 15 \ 6 \ 1
]

※ブラウザ、スマートフォンのサイズによって正確に表示されていない可能性があります。申し訳ありません。おそらく4段目まではきれいに表示されているはず…。

パスカルの三角形は

① 頂点を $1 \ 1$ にする
② 各行の左右の端は $1$ にする
③ 各行の左右の端以外は、自分の右上と左上の数の和にする

というルールのもとで作られています。

例えば二段目の真ん中の $2$ は右上の $1$ と左上の $1$ を足したもの、四段目の真ん中の $6$ は右上の $3$ と左上の $3$ を足したもの、六段目の左から三番目の $15$ は右上の $10$ と左上の $5$ を足したものになっています。

パスカルの三角形は実は二項係数のピラミッドでもある

実はパスカルの三角形

[
\ \ \ \ \ 1 \ 1 \
\ \ \ \ 1 \ 2 \ 1 \
\ \ \ 1 \ 3 \ 3 \ 1 \
\ \ 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 \
\ 1 \ 5 \ 10 \ 10 \ 5 \ 1 \
1 \ 6 \ 15 \ 20 \ 15 \ 6 \ 1
]

[
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {}_1 C _0 \ \ {}_1 C _1 \
\ \ \ \ \ \ \ \ {}_2 C _0 \ \ {}_2 C _1 \ \ {}_2 C _2 \
\ \ \ \ \ \ {}_3 C _0 \ \ {}_3 C _1 \ \ {}_3 C _2 \ \ {}_3 C _3 \
\ \ \ \ {}_4 C _0 \ \ {}_4 C _1 \ \ {}_4 C _2 \ \ {}_4 C _3 \ \ {}_4 C _4 \
\ \ {}_5 C _0 \ \ {}_5 C _1 \ \ {}_5 C _2 \ \ {}_5 C _3 \ \ {}_5 C _4 \ \ {}_5 C _5 \
{}_6 C _0 \ \ {}_6 C _1 \ \ {}_6 C _2 \ \ {}_6 C _3 \ \ {}_6 C _4 \ \ {}_6 C _5 \ \ {}_6 C _6
]

です。パスカルの三角形の各行は二項係数そのもの。

つまりパスカルの三角形を書けるようになれば、二項定理の問題が出てきても係数を簡単に計算できるわけです。

例えば $(x+y)^6$ はパスカルの三角形の六段目から

[
(x+y)^6 = x^6 + 6 x^5 y + 15 x^4 y^2 + 20 x^3 y^3 + 15 x^2 y^4 + 5 x y^5 + y^6
]

であるとすぐにわかります。

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