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友愛数と過剰数の定義と性質

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友愛数

友愛数とは「2つの数で、一方の約数(自分自身以外の約数)の和がもう一方になるような2つの数」です。220と284のペアは友愛数です。

220は、真の約数を足すと
1 + 2 + 4 + 5 + 10 +
11 + 20 + 22 + 44 + 55 +
110
= 284

になります。一方、284の真の約数を足すと

1 + 2 + 4 + 71 + 142
=220

になります。互いに互いの数を生んでいることがわかりました。

過剰数

過剰数とは、その数の真の約数(自分自身以外の約数)をすべて足した値がもともとの数を超えるような数です。最初の過剰数は12です。

12の真の約数(12以外の約数)
1, 2, 3, 4, 6

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12

過剰数の例

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270

A005101 Abundant numbers (sum of divisors of n exceeds 2n)より引用

過剰数の性質

過剰数の倍数は過剰数になります。12の倍数はすべて過剰数です。過剰数は無限にあることがわかります。

上の列を見ると奇数がありません。実は奇数の過剰数は945が最初で、それより小さい奇数は過剰数ではありません。

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