三角関数の合成(公式と最大値などを求める問題)

三角関数の合成は加法定理と同様、三角関数で最も重要な公式の一つで,数学のみならず物理の力学や電磁気学でも使われる.公式を暗記するというよりは,何度も計算問題を解いてコツをつかむほうが効率的である.

参考ページ
三角関数の公式(加法定理から積和・和積公式、三角関数の合成まで)
三角関数はどうすれば理解できるか?三角関数の勉強法と参考書

※三角関数の合成の基本的な計算問題は上のページを参照.

三角関数の合成

[
a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi)
]
ここで
[
\left{\begin{array}{l}
\sin\phi=\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\
\cos\phi=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
\end{array}\right.
]
である.

練習問題

最大値と最小値を求める問題

1(0\leq\theta\lt{2}\pi) のとき,次の関数の最大値と最小値を求めなさい.またそのときの (\theta) の値を求めなさい.

((1)) (y=\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta)

((2)) (y=\sin\theta+\cos\theta)

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

((1))
[
\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+1^{2}}=2
]
\begin{eqnarray}
&\enspace&\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta\
&=&2\left(\sin\theta\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos\theta\cdot\dfrac{1}{2}\right)\
&=&2\left(\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\
&=&2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)
\end{eqnarray
}
となる. (0\leq\theta\lt{2}\pi) より (\dfrac{\pi}{6}\leq\theta\lt\dfrac{13}{6}\pi) で
[
-2\leq{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)\leq2
]
となる.最大値は (\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}) のとき (2) であり,最小値は (\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}) のとき (-2) である.
[
\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}\ \rightleftarrows\ \theta=\dfrac{\pi}{3}
]
[
\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}\ \rightleftarrows\ \theta=\dfrac{4\pi}{3}
]
以上より (\theta=\dfrac{\pi}{3}) のとき (y) は最大値 (2) をとり, (\theta=\dfrac{4\pi}{3}) のとき最小値 (-2) をとる.

((2))
[
\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}
]
\begin{eqnarray}
&\enspace&\sin\theta+\cos\theta\
&=&\sqrt{2}\left(\sin\theta\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cos\theta\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\
&=&\sqrt{2}\left(\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\
&=&\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)
\end{eqnarray
}
となる. (0\leq\theta\lt{2}\pi) より (\dfrac{\pi}{4}\leq\theta\lt\dfrac{9\pi}{4}) で
[
-\sqrt{2}\leq\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\leq\sqrt{2}
]
となる.よって (y) の最大値は (\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}) のとき (\sqrt{2}) であり, (\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2}) のとき (-\sqrt{2}) である.
[
\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\ \rightleftarrows\ \theta=\dfrac{\pi}{4}
]
[
\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2}\ \rightleftarrows\ \theta=\dfrac{5\pi}{4}
]
だから (\theta=\dfrac{\pi}{4}) のとき (y) は最大値 (\sqrt{2}) をとり, (\theta=\dfrac{5\pi}{4}) のとき最小値 (-\sqrt{2}) をとる.

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