完全数の定義と性質

完全数とは、その数の真の約数の和がその数になるような数です。例えば6は完全数です。

6の約数…1,2,3,6
1 + 2 + 3 = 6

6の約数のうち、自分自身である6を除いた1,2,3を足すと6になります。ヒッポのアウグスティヌスの「神の国」は、神が人類を6日間で作った(旧約聖書)のは、6が完全数だからだとしています。

一覧(10000まで)

10000までの完全数は4つしかありません。

6
28
496
8128

それぞれが完全数であることを確かめましょう。

6の約数…1,2,3,6
1+2+3=6

28の約数…1,2,4,7,14,28
1+2+4+7+14=28

496の約数
1,2,4,8,16,
31,62,124,248

1+2+4+8+16+
31+62+124+248=496

8128の約数
1,2,4,8,16,
32,64,127,254,508,
1016,2032,4064

1+2+4+8+16+
32+64+127+254+508+
1016+2032+4064=8128

8128の次の完全数は33550336ですが、桁が多くなるためここでは省略しました。

性質

上の完全数を見て、ある種の規則性がわかったでしょうか?例えば一の位に注目すると6と8が交互に続いています。実は完全数の一の位は6か8になりますが、交互に続くとは限りません

8128の約数を見ると、2のべき乗がたくさん並んでいることの気づきます。完全数は2のべき乗と何か関係がありそうです。

完全数についてよく知られている性質は次の通りです。

  1. 一の位は6または8
  2. 完全数は2p(2p+1-1)と表される

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