三角比の公式まとめ(サイン、コサイン、タンジェント、正弦定理、余弦定理など)

高校数学(数学Ⅰ図形と計量)で習う三角比の公式のまとめ。サイン、コサイン、タンジェントの基本公式、正弦定理、余弦定理、三角形の面積、直線の傾きなど。

わかりやすい三角比と基本公式

三角比の定義

$x,\ y,\ r$ を辺とする直角三角形(ただし $x$ を底辺、 $y$ を高さ、 $r$ を斜辺、底辺と斜辺のなす角を $\theta$ とする)について、三角比を以下のように定義する。

\[ \sin\theta=\frac{y}{r}\\ \cos\theta=\frac{x}{r}\\ \tan\theta=\frac{y}{x} \]

三角比の基本公式

\[ \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\\ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\ 1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta} \]

三角比の $(90^{\circ}+\theta)$ 公式

\[ \sin(90^{\circ}+\theta)=\cos\theta\\ \cos(90^{\circ}+\theta)=-\sin\theta\\ \tan(90^{\circ}+\theta)=-\frac{1}{\tan\theta} \]

三角比の $(90^{\circ}-\theta)$ 公式

\[ \sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta\\ \cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta\\ \tan(90^{\circ}-\theta)=\frac{1}{\tan\theta} \]

三角比の $(180^{\circ}-\theta)$ 公式

\[ \sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta\\ \cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta\\ \tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta \]

正弦定理

$\triangle{ABC}$ の $3$ 辺をそれぞれ $a=BC,\ b=CA,\ c=AB$ として、この三角形の外接円の半径を $R$ とする。

\begin{eqnarray*} 2R&=&\frac{a}{\sin{A}}\\ &=&\frac{b}{\sin{B}}\\ &=&\frac{c}{\sin{C}} \end{eqnarray*}

あるいは次のようにも変形できる。

\[ a=2R\sin{A}\\ b=2R\sin{B}\\ c=2R\sin{C} \]

余弦定理

$\triangle{ABC}$ の $3$ 辺をそれぞれ $a=BC,\ b=CA,\ c=AB$ とする。

\[ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A}\\ b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos{B}\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C} \]

\[ \cos{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-2bc}{2bc}\\ \cos{B}=\frac{c^{2}+a^{2}-2ca}{2ca}\\ \cos{C}=\frac{a^{2}+b^{2}-2ab}{2ab} \]

三角形の面積

$\triangle{ABC}$ の $3$ 辺をそれぞれ $a=BC,\ b=CA,\ c=AB$ として、この三角形の面積を $S$ とする。

\begin{eqnarray*} S&=&\frac{1}{2}bc\sin{A}\\ &=&\frac{1}{2}ca\sin{B}\\ &=&\frac{1}{2}ab\sin{C} \end{eqnarray*}

直線の傾き

直線 $y=ax+b$ と $x$ 軸(の正の向き)のなす角を $\theta$ とする。

\[ a=\tan\theta \]

参考ページ

わかりやすい三角比と基本公式
三角比の表(sin cos tan 30° 45° 60° 120°…の値)

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