三角比の公式まとめ(サイン、コサイン、タンジェント、正弦定理、余弦定理など)

2016/4/22

Shinichiro Sakamoto

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高校数学(数学Ⅰ・図形と計量)で習う三角比の公式をまとめました。サイン、コサイン、タンジェントの基本公式、正弦定理、余弦定理、三角形の面積、直線の傾きなどを確認してください。

わかりやすい三角比と基本公式

三角比の定義

a、b、cを辺とする直角三角形(高さがa、底辺がb、斜辺がc、底辺と斜辺のなす角をθ)で三角比を次のように定義します。

三角比の定義

\sin\theta=\frac{a}{c}\\
\cos\theta=\frac{b}{c}\\
\tan\theta=\frac{a}{b}

三角比の基本公式

サイン/コサインがタンジェントになる式と、サインの二乗とコサインの二乗の和が1になる公式があります。

三角比の公式

\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\\
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\
1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}

基本公式の証明

三角比の90°−公式

90°−の公式

\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta\\
\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta\\
\tan(90^{\circ}-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}

三角比の90°+公式

90°+の公式

\sin(90^{\circ}+\theta)=\cos\theta\\
\cos(90^{\circ}+\theta)=-\sin\theta\\
\tan(90^{\circ}+\theta)=-\frac{1}{\tan\theta}

三角比の180°−公式

180°−の公式

\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta\\
\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta\\
\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta

正弦定理

△ABCの3辺をそれぞれa=BC、b=CA、c=ABとして、三角形の外接円の半径をRとします。このとき次の公式(正弦定理)が成り立ちます。

正弦定理

\begin{eqnarray*}
2R&=&\frac{a}{\sin{A}}\\
&=&\frac{b}{\sin{B}}\\
&=&\frac{c}{\sin{C}}
\end{eqnarray*}

正弦定理は下のように変形してもかまいません。

正弦定理

a=2R\sin{A}\\
b=2R\sin{B}\\
c=2R\sin{C}

正弦定理は動画でくわしく説明しました。

余弦定理

△ABCの3辺をそれぞれa=BC、b=CA、c=ABとします。このとき次の公式(余弦定理)が成り立ちます。余弦定理の「余弦」は「よげん」と読みます。

余弦定理のわかりやすい図

余弦定理

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A}\\
b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos{B}\\
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C}

余弦定理

\cos{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-2bc}{2bc}\\
\cos{B}=\frac{c^{2}+a^{2}-2ca}{2ca}\\
\cos{C}=\frac{a^{2}+b^{2}-2ab}{2ab}

三角形の面積

△ABCの3辺をそれぞれa=BC、b=CA、c=AB、面積をSとします。

面積

\begin{eqnarray*}
S&=&\frac{1}{2}bc\sin{A}\\
&=&\frac{1}{2}ca\sin{B}\\
&=&\frac{1}{2}ab\sin{C}
\end{eqnarray*}

二辺の長さと、その辺にはさまれた角度がわかっているときに公式を使います。これは底辺×高さ÷2という公式の応用とみなすことができます。

次の三角形の面積を求めてみましょう。

(1) b=4、c=5、A=30°
(2) b=6、c=2、A=60°

(1)
解答1

(2)
解答2

S
=\frac{1}{2}bc\sin{A}\\
=\frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \sin{30^\circ}\\
=5
S
=\frac{1}{2}bc\sin{A}\\
=\frac{1}{2} \times 6 \times 2 \times \sin{60^\circ}\\
=3\sqrt{3}

直線の傾き

直線y=ax+bとx軸(の正の向き)のなす角をθとすると

a=tanθ

となります。

参考

わかりやすい三角比と基本公式
三角比の表(sin cos tan 30° 45° 60° 120°…の値)


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