Vieta's Formula から円周率を「逆」定義する：円周率を平方根の積で表す

解と係数の関係を Vieta's Formula というが，同じ名前の公式 Vieta's Formula に円周率の定義がある．

Vieta's Formula

\[ \pi = 2 \times \frac{ 2 }{ \sqrt{ 2 } } \times \frac{ 2 }{ \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 } } } \times \frac{ 2 }{ \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 } } } } \times \frac{ 2 }{ \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 } } } } } \times \cdots \]

これは

\[ \frac{ 2 }{ \pi } = \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \times \frac{ \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 } } }{ 2 } \times \frac{ \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 } } } }{ 2 } \times \frac{ \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 } } } } }{ 2 } \times \cdots \]

とも書ける．

Vieta's Formula の証明

\[ \sin{ x } = 2 \sin{ \frac{ x }{ 2 } } \cos{ \frac{ x }{ 2 } } \]

で

\[ \sin{ \frac{ x }{ 2 } } = 2 \sin{ \frac{ x }{ 4 } } \cos{ \frac{ x }{ 4 } } \]

だから

\[ \sin{ x } = 4 \sin{ \frac{ x }{ 4 } } \cos{ \frac{ x }{ 4 } } \cos{ \frac{ x }{ 2 } } \]

である．これをくりかえすと

\[ \sin{ x } = 2^n \sin{ \frac{ x }{ 2^n } } \prod_{ k=1 }^{ n } \cos{ \frac{ x }{ 2^k } } \]

となる．$x$ に $\dfrac{ \pi }{ 2 }$ を代入すると

\[ 1 = \sin{ \frac{ \pi }{ 2 } } = 2^n \sin{ \frac{ \pi }{ 2^{n+1} } } \prod_{ k=1 }^{ n } \cos{ \frac{ \pi }{ 2^{ k+1 } } } \]

\[ 1 = 2^n \times \left( \frac{ 2 }{ \pi } \right) \times \left( \frac{ \pi }{ 2 } \right) \sin{ \frac{ \pi }{ 2^{n+1} } } \prod_{ k=1 }^{ n } \cos{ \frac{ \pi }{ 2^{ k+1 } } } \]

\[ 1 = \frac{ \pi }{ 2 } \times \left( \frac{ 2^{n+1} }{ \pi } \right) \sin{ \frac{ \pi }{ 2^{n+1} } } \prod_{ k=1 }^{ n } \cos{ \frac{ \pi }{ 2^{ k+1 } } } \]

\[ 1 = \frac{ \pi }{ 2 } \dfrac{ \sin{ \frac{ \pi }{ 2^{n+1} } } }{ \frac{ 2^{n+1} }{ \pi } } \prod_{ k=1 }^{ n } \cos{ \frac{ \pi }{ 2^{ k+1 } } } \]

ところで

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{ \sin{x} }{ x } = 1 \]

だから

\[ 1 = \frac{ \pi }{ 2 } \prod_{ k=1 }^{ \infty } \cos{ \frac{ \pi }{ 2^{ k+1 } } } \]

\[ \frac{ 2 }{ \pi } = \prod_{ k=1 }^{ \infty } \cos{ \frac{ \pi }{ 2^{ k+1 } } } \]

となる．半角の公式から

\[ \cos{ \frac{ \pi }{ 4 } } = \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \]

\[ \cos{ \frac{ \pi }{ 8 } } = \frac{ \sqrt{ 2 + \sqrt{2} } }{ 2 } \]

だから Vieta's Formula が証明される．