球の体積と表面積(公式と計算問題と証明)

中学一年生は三学期で球の体積と表面積を習います。公式を確認し、練習問題を解いてみよう。

球の半径を $r$ とすると、体積と表面積は以下のように求めます。

球の体積と表面積

体積  $\displaystyle V = \frac {4 \pi r^3}{3}$  (「身の上心配アール3乗」と覚える)

表面積 $\displaystyle S = 4 \pi r^2$  (「心配アール2乗」と覚える)

問題

(1) 半径 $1cm$ の球の体積と表面積は求めなさい。

(2) 半径 $2cm$ の球の体積と表面積は求めなさい。

(3) 半径 $3cm$ の球の体積と表面積は求めなさい。

(4) 半径 $4cm$ の球の体積と表面積は求めなさい。

(5) 半径 $6cm$ の球の体積と表面積は求めなさい。

解答

(1)

体積  $V=\dfrac{4 \pi 1^3}{3}=\dfrac{4 \pi}{3}cm^3$

表面積 $S=4 \pi 1^2=4 \pi cm^2$

(2)

体積  $V=\dfrac{4 \pi 2^3}{3}=\dfrac{32 \pi}{3}cm^3$

表面積 $S=4 \pi 2^2=16 \pi cm^2$

(3)

体積  $V=\dfrac{4 \pi 3^3}{3}=36 \pi cm^3$

表面積 $S=4 \pi 3^2=36 \pi cm^2$

(4)

体積  $V=\dfrac{4 \pi 4^3}{3}=\dfrac{256 \pi}{3}cm^3$

表面積 $S=4 \pi 4^2=64 \pi cm^2$

(5)

体積  $V=\dfrac{4 \pi 6^3}{3}=288 \pi cm^3$

表面積 $S=4 \pi 6^2=144 \pi cm^2$

※半径 $3cm$ の球の体積と表面積は等しい。覚えておくと便利です。

補足

上の練習問題で、半径が $1cm$ と $2cm$ における体積を比べるとちょうど8倍になっています。また表面積は4倍になっています。

・半径が2倍になると、体積は8倍になる。
・半径が2倍になると、表面積は4倍になる。

同様に

・半径が3倍になると、体積は27倍になる。
・半径が3倍になると、表面積は9倍になる。

なぜこのようになるか、考えてみましょう。

球の体積は球をすっぽり包む円柱の $\frac{2}{3}$ 倍

半径 $r$ の球がちょうど収まる円柱を考えます。これは半径 $r$ の円を底面とする、高さが $2r$ の円柱です。缶詰の中に野球ボールがあるようなイメージです。実はこの野球ボールの体積は缶詰の体積の $\dfrac{2}{3}$ 倍です。

円柱の体積 $\pi r^2 \times 2r = 2 \pi r^2$
球の体積  $\dfrac{4 \pi r^3}{3}$

であり、$\dfrac{4 \pi r^3}{3}=2 \pi r^2 \times \dfrac{2}{3}$ となります。

球が円柱の $\dfrac{2}{3}$ 倍であるという事実は昔から知られていました。

球の体積が $\frac{4 \pi r^3}{3}$ である証明

ここからは高校以上の内容になります。球は半円を(直径を軸として)回転させた図形です。ここでは球を単位円の上半分、すなわち $y=\sqrt{1-x^2}$ を $x$ 軸を軸として回転させた図形と考えます。

球の体積を $V$ と書くことにすると

\begin{eqnarray} V&=&\int_{-1}^{1}\pi(\sqrt{1-x^2})^2dx \\ &=&\pi\int_{-1}^{1}(1-x^2)dx \\ &=&\pi\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} \\ &=&\frac{4 \pi r^3}{3} \end{eqnarray}

球の表面積が $4 \pi r^2$ である証明

球の表面積は球の体積から求められます。やや感覚的な議論になりますが、立体図形を理解する上で重要なポイントが出てきます。

球を「球の中心を頂点とする円錐」の集まりとみなすと、球の体積は球の表面積に半径をかけて $3$ で割った値になります。なぜなら円錐の体積は底面と高さをかけて $3$ で割って求めるからです。

球の体積は $\frac{4 \pi r^3}{3}$ であるため、球の表面積を $S$ とすると $S\times{r}\div{3}=\frac{4 \pi r^3}{3}$ となり、$S=4 \pi r^2$ という公式が導かれます。

なおこの考え方は立方体にも通用します。立方体の半径を $r$ とすると

立方体の体積  $r^3$
立方体の表面積 $6r^2$

となります。一方、立方体は「立方体の中心を頂点、立方体の各面を底面とする四角錐」に分割できることから、立方体の体積は立方体の表面積に $\dfrac{r}{2}$ をかけて $3$ で割った値になるはずです。

$6r^2 \times \dfrac{r}{2} \div 3=r^3$

となりもともとの値と一致しました。

以上から立体図形の体積 $V$ と表面積 $S$ は

\[ V=\frac{1}{3}Sr \]

という関係にあることがわかります。ここで $r$ はその立体の面と中心の距離です。この公式は球の体積と表面積の関係性を一般化した公式であり、 $3$ 次元の立体の本質を示しています。この公式の係数 $\dfrac{1}{3}$ の $3$ は $3$ 次元の $3$ です。

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