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漸化式の公式と解き方|数学B(数列)

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漸化式の基本

$a_{n+1}=a_n,\ a_1=a$ → $a_n=a$

$a_{n+1}=a_n+q,\ a_1=a$ → $a_n=a+(n-1)q$

$a_{n+1}=pa_n,\ a_1=a$ → $a_n=ap^{n-1}$

最初の漸化式は「同じ数が続く数列」を表します。次の漸化式は等差数列、最後の漸化式は等比数列を表します。

例1

$a_{n+1}=a_n,\ a_1=5$ → $a_n=5$

$a_{n+1}=a_n,\ a_1=13$ → $a_n=13$

例2

$a_{n+1}=a_n+3,\ a_1=8$

\begin{eqnarray} a_n &=& 8+(n-1)\times{3}\\ &=& 3n+5 \end{eqnarray}

公式を使って 3n + 5 という数列が得られました。この数列が本当に正しいかどうか確かめてみよう。

まず漸化式から

\[ a_1 = 8 \\ a_2 = a_1 + 3 = 11 \\ a_3 = a_2 + 3 = 14 \\ a_4 = a_3 + 3 = 17 \]

となります。続いて 3n + 5 から

\[ a_1 = 3 \cdot 1 + 5 = 8 \\ a_2 = 3 \cdot 2 + 5 = 11 \\ a_3 = 3 \cdot 3 + 5 = 14 \\ a_4 = 3 \cdot 4 + 5 = 17 \]

となります。きちんと同じになりました。よって 3n + 5 は正しいとわかります。下の例は自分で確認してみよう。

$a_{n+1}=a_n+7,\ a_1=-2$

\begin{eqnarray} a_n &=& -2+(n-1)\times{7}\\ &=& 7n-9 \end{eqnarray}

例3

$a_{n+1} = 2 a_n,\ a_1 = 5$ → $a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$

$a_{n+1} = -6 a_n,\ a_1 = 3$ → $a_n = 3 \cdot (-6)^{n-1}$

等比数列型の漸化式は、次の「漸化式の応用」の基礎にもなっています。最初の例だけ、解答が正しいことを確かめてみましょう。

まず漸化式から

\[ a_1 = 5 \\ a_2 = 2 a_1 = 10 \\ a_3 = 2 a_2 = 20 \\ a_4 = 2 a_3 = 40 \]

となります。続いて 5・2^(n-1) から

\[ a_1 = 5 \cdot 2^{1-1} = 5 \\ a_2 = 5 \cdot 2^{2-1} = 10 \\ a_3 = 5 \cdot 2^{3-1} = 20 \\ a_4 = 5 \cdot 2^{4-1} = 30 \]

となり、公式から導いた答えが正しいとわかりました。

漸化式の応用

$a_{n+1} = p a_n + q,\ a_1 = a$

この漸化式は、上の「漸化式の基本」で出てきた公式の二番目と三番目を合わせたものです。このタイプの漸化式は、単純な等差数列や等比数列になりません。

公式

$a_n = (a - k) \cdot p^{n-1} + k$

ただし

$k$ は $x = px + q$ の解。

例4

$a_{n+1} = 4 a_n - 3,\ a_1 = 7$

まず公式の k を求めます。これは x = 4x - 3 の解であり、解は 1 です。ここまでは一次方程式です。この k を使って上のややこしい公式を使うと

\begin{eqnarray} a_n &=& (7 - 1) \cdot 4^{n-1} + 1 \\ &=& 6 \cdot 4^{n-1} + 1 \end{eqnarray}

となります。この答えが本当に正しいか確かめてみましょう。

まずもともとの漸化式から

\[ a_1 = 7 \\ a_2 = 4 a_1 - 3 = 4 \cdot 7 - 3 = 25 \\ a_3 = 4 a_2 - 3 = 4 \cdot 25 - 3 = 97 \\ a_4 = 4 a_3 - 3 = 4 \cdot 97 - 3 = 385 \]

となります。続いて 6・4^(n-1) + 1 から

\[ a_1 = 6 \cdot 4^{1-1} + 1 = 7 \\ a_2 = 6 \cdot 4^{2-1} + 1 = 25 \\ a_3 = 6 \cdot 4^{3-1} + 1 = 97 \\ a_4 = 6 \cdot 4^{4-1} + 1 = 385 \\ \]

となり、答えが正しいとわかりました。これまでの例のように、漸化式の問題は自分の答えが正しいかどうか正確に検証することができます。

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フィボナッチ数列

フィボナッチ数列は漸化式の応用問題としてよく出てくる。

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