(a+b)^3の展開は係数が1、3、3、1になる｜三次式の展開と因数分解の基本公式

三次式の展開は自分で計算すると覚えやすいです。$3$ 乗の展開は係数が $1,\ 3,\ 3,\ 1$ という順番に並んでいることに注意します。

\[ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ (a-b)^3 = a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} \]

$(a-b)^3$ の係数は $2$ 番目と $4$ 番目の係数がマイナスになります。ここが三次式の展開でややこしいところ…。次の展開公式はどちらかというと因数分解の公式といえるかもしれない。

\[ (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) = a^3 + b^3 \\ (a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) = a^3-b^3 \]

左から右に考えると展開、右から左に考えると因数分解ですね。$a^3 + b^3$ の因数分解はさまざまな場面で出てきます。個人的に $a^3 + b^3$ と $a^3 - b^3$ の因数分解は高校数学で最重要と思っています。

最後の展開公式も大事です。

\[ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - bc - ca - ab) \\ =a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \]

例

\[ (x+1)^{3}\\ =x^{3}+3x^{2}\cdot{1}+3x\cdot{1}^{2}+1^{3}\\ =x^{3}+3x^{2}+3x+1 \]

\[ (2x+3)^{3}\\ =(2x)^{3}+3(2x)^{2}\cdot{3}+3(2x)\cdot{3}^{2}+3^{3}\\ =8x^{3}+36x^{2}+36x+27 \]

\[ (x-2)^{3}\\ =x^{3}-3x^{2}\cdot{2}+3x\cdot{2}^{2}-2^{3}\\ =x^{3}-6x^{2}+12x-8 \]

\[ (3x-1)^{3}\\ =(3x)^{3}-3(3x)^{2}\cdot{1}+3(3x)\cdot{1}^{2}-1^{3}\\ =27x^{3}-27x^{2}+9x-1 \]

\[ (-x-3)^3 \\ =(-x)^{3}-3(-x)^{2}\cdot{3}+3(-x)\cdot{3}^{2}-3^{3} \\ =-x^{3}+9x^{2}-27x-27 \]