二重根号をはずす計算例：二重根号の符号と係数に注意しよう

$\sqrt{ m + 2\sqrt{n} }$ の二重根号は，足して $m$ かけて $n$ になる $2$ つの数 $a,\ b$ を使って

\[ \sqrt{ m + 2\sqrt{n} } = \sqrt{a} + \sqrt{b} \]

と変形できます．$b < a$ になるように $a$ と $b$ を定めると引き算の場合と混乱しないですみます．

$(1) \ \sqrt{ 7 + 2\sqrt{10} }$

足して $7$ かけて $10$ になる $2$ つの数は $5$ と $2$ だから

\[ \sqrt{ 7 + 2\sqrt{10} } = \sqrt{5} + \sqrt{2} \]

$(2) \ \sqrt{ 12 + 2\sqrt{35} }$

足して $12$ かけて $35$ になる $2$ つの数は $7$ と $5$ だから

\[ \sqrt{ 12 + 2\sqrt{35} } = \sqrt{7} + \sqrt{5} \]

$(3) \ \sqrt{7 + 2\sqrt{12} }$

足して $7$ かけて $12$ になる $2$ つの数は $4$ と $3$ だから

\begin{split} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{12} } &= \sqrt{4} + \sqrt{3} \\ &= 2 + \sqrt{3} \end{split}

根号の中が引き算の場合

$\sqrt{ m - 2\sqrt{n} }$ の二重根号は，足して $m$ かけて $n$ になる $2$ つの数 $a,\ b\ (b < a)$ を使って

\[ \sqrt{ m - 2\sqrt{n} } = \sqrt{a} - \sqrt{b} \]

と変形できます．$a$ と $b$ の大小関係に気をつければ，足し算とほとんど変わりません．

$(1) \ \sqrt{8 - 2\sqrt{15} }$

足して $8$ かけて $15$ になる $2$ つの数は $5$ と $3$ だから

\[ \sqrt{ 8 - 2\sqrt{15} } = \sqrt{5} - \sqrt{2} \]

$(2) \ \sqrt{11 - 2\sqrt{30} }$

足して $11$ かけて $30$ になる $2$ つの数は $6$ と $5$ だから

\[ \sqrt{ 11 - 2\sqrt{30} } = \sqrt{6} - \sqrt{5} \]

$(3) \ \sqrt{9 - 2\sqrt{20} }$

足して $9$ かけて $20$ になる $2$ つの数は $5$ と $4$ だから

\[ \sqrt{ 9 - 2\sqrt{20} } = \sqrt{5} - \sqrt{4} \]

係数を $2$ にしてから上と同じようにはずします．

$(1) \ \sqrt{ 17 + 4\sqrt{15} }$

\[ \sqrt{ 17 + 4\sqrt{15} } = \sqrt{ 17 + 2\sqrt{60} } \]

で，足して $17$ かけて $60$ になる $2$ つの数は $12$ と $5$ だから

\begin{split} \sqrt{ 17 + 4\sqrt{15} } &= \sqrt{ 17 + 2\sqrt{60} } \\ &= \sqrt{12} + \sqrt{5} \\ &= 2\sqrt{3} + \sqrt{5} \end{split}

$(2) \ \sqrt{ 26 + 4\sqrt{30} }$

\[ \sqrt{ 26 + 4\sqrt{30} } = \sqrt{ 26 + 2\sqrt{120} } \]

で，足して $26$ かけて $120$ になる $2$ つの数は $20$ と $6$ だから

\begin{split} \sqrt{ 26 + 4\sqrt{30} } &= \sqrt{ 26 + 2\sqrt{120} } \\ &= \sqrt{20} + \sqrt{6} \\ &= 2\sqrt{5} + \sqrt{6} \end{split}