指数関数は2次関数どころか10000次関数より「強い」

指数関数は多項式で表される関数(二次関数など)より早く発散します。例えば $y=2^x$ と $y=x^2$ で比べてみましょう。

x y=2^x y=x^2
0 1 0
1 2 1
2 4 4
3 8 9
4 16 16
5 32 25
6 64 36
7 128 49
8 256 64
9 512 81
10 1024 100
11 2048 121
12 4096 144
13 8192 169
14 16384 196
15 32768 225
16 65536 256
17 131072 289
18 262144 324
19 524288 361
20 1048576 400

$x$ が $5$ くらいまではそれほど差はありませんが、やがて加速度的に差がついて $x=20$ では桁数が倍違っています。

指数関数がいかに『強い』関数かわかりますね。

指数関数は10000次関数よりも強い

家庭用のパソコンではもはや出力できませんが、10000次関数は最初からかなりぶっ飛びます。

$y=x^{10000}$ という関数を考えてください。この関数に $x=2$ を代入したら、とんでもない値になりますね。いくらになるかパソコンでは計算不可能ですが、とにかくすごく大きな数になるでしょう。

一方の指数関数 $y=2^x$ はのろのろと大きくなります。上の表にあるように $2^{20}=1048576$ ですが、おそらく $2^{10000}$ のほうがはるかに大きいですから、いかに $x^{10000}$ がとてつもない関数かわかります。

しかし結論から言うと、指数関数はこの10000次関数よりはるかに強い関数です。最初こそまったく歯が立たないものの、 $x=40$ くらいで簡単に追いついてしまいます。

指数関数は無限次関数である

なぜ指数関数はここまで強いか。それは指数関数の次数が無限だからです。

指数関数は多項式と根本的に異なりますが、実は多項式のように書くことができます。これ以上は大学の範囲(テイラー展開)に入ってしまいますが、指数関数を多項式のように表すと無限次関数になるのです。

\begin{eqnarray}
e^x &=& \sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!} \
&=& 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots
\end{eqnarray
}

テイラー展開によって指数関数が無限次の関数であり、どんな多項式も指数関数に勝てないことがわかります。

指数関数が絡む極限の問題は簡単な場合が多い

以上の指数関数の性質から次の公式(?)が得られます。

[
\lim_{x\to\infty}\dfrac{an x^n+a{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0}{e^x}=0
]

分母に指数関数、分子に多項式があるような関数はたいてい $x \rightarrow \infty$ で $0$ に収束します。

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