指数関数は2次関数どころか10000次関数より「強い」

指数関数は多項式で表される関数（二次関数など）より早く発散します。例えば $y=2^x$ と $y=x^2$ で比べてみましょう。

$x$ が $5$ くらいまではそれほど差はありませんが、やがて加速度的に差がついて $x=20$ では桁数が倍違っています。

指数関数がいかに『強い』関数かわかりますね。

指数関数は10000次関数よりも強い

家庭用のパソコンではもはや出力できませんが、10000次関数は最初からかなりぶっ飛びます。

$y=x^{10000}$ という関数を考えてください。この関数に $x=2$ を代入したら、とんでもない値になりますね。いくらになるかパソコンでは計算不可能ですが、とにかくすごく大きな数になるでしょう。

一方の指数関数 $y=2^x$ はのろのろと大きくなります。上の表にあるように $2^{20}=1048576$ ですが、おそらく $2^{10000}$ のほうがはるかに大きいですから、いかに $x^{10000}$ がとてつもない関数かわかります。

しかし結論から言うと、指数関数はこの10000次関数よりはるかに強い関数です。最初こそまったく歯が立たないものの、 $x=40$ くらいで簡単に追いついてしまいます。

なぜ指数関数はここまで強いか。それは指数関数の次数が無限だからです。

指数関数は多項式と根本的に異なりますが、実は多項式のように書くことができます。これ以上は大学の範囲（テイラー展開）に入ってしまいますが、指数関数を多項式のように表すと無限次関数になるのです。

\begin{eqnarray*} e^x &=& \sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!} \\ &=& 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots \end{eqnarray*}

テイラー展開によって指数関数が無限次の関数であり、どんな多項式も指数関数に勝てないことがわかります。

以上の指数関数の性質から次の公式（？）が得られます。

\[ \lim_{x\to\infty}\dfrac{a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0}{e^x}=0 \]

分母に指数関数、分子に多項式があるような関数はたいてい $x \rightarrow \infty$ で $0$ に収束します。