指数・対数関数の公式｜指数法則と対数法則と底の変換公式の証明

高校数学Ⅱの指数関数・対数関数で習う指数法則と対数法則をまとめました。

$a$ の $n$ 乗と $a$ の $m$ 乗をかけ算すると $a$ の $m+n$ 乗になります。こうした法則を指数法則といいますが、指数法則は指数関数を勉強するうえで必要になる公式です。

指数法則の公式

$a$ と $b$ は $0$ より大きいとする。$m$ と $n$ は任意の実数で整数とはかぎらない。

\[ a^{m}a^{n} = a^{m+n} \\ \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \\ (a^{m})^{n} = a^{mn} \\ (ab)^{n} = a^{n}b^{n} \\ \left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} \]

$a$ の $n$ 乗と $a$ の $m$ 乗をかけ算すると $a$ の $m+n$ 乗になり、$a$ の $n$ 乗を $a$ の $m$ 乗で割ると $a$ の $m-n$ 乗になっています。かけ算が足し算、割り算が引き算になっていることに注意しましょう。

「$a$ の $m$ 乗」の $n$ 乗は $a$ の $mn$ 乗です。べき乗のべき乗は、べきのかけ算になります。

指数法則の例

上の指数法則が正しいことを具体的に確かめてみましょう。まずは指数の足し算から。

\[ 2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128 = 2^7 \]

$2$ の肩に乗っている数はそれぞれ $3$ と $4$ で、$128$ は $2$ の $7$ 乗です。$7$ は $3+4$ であり、上の指数法則がきちんと成り立っていることがわかります。

\[ 2^8 \div 2^3 = 256 \cdot 16 = 128 = 2^7 \]

$2$ の肩に乗っている数はそれぞれ $8$ と $3$ で、$64$ は $2$ の $5$ 乗です。$5$ は $8-3$ です。もともとの数の割り算は、指数では引き算になることがわかります。

対数法則

$a$ は $0$ より大きく $1$ でない実数。$x$ と $y$ は $0$ より大きい任意の実数。

\[ a^{\log_a{x}} = x \\ \log_a{xy} = \log_a{x}+\log_a{y} \\ \log_a{\frac{x}{y}} = \log_a{x}-\log_a{y} \\ \log_a{\frac{1}{x}} = -\log_a{x} \\ \log_a{x^n} = n\log_a{x} \\ \log_a{x} = \frac{\log_b{x}}{\log_b{a}} \\ \log_a{x} = \frac{1}{\log_x{a}}\ \ (x \neq 1) \\ \log_{\frac{1}{a}}{x} = -\log_a{x} \]

指数から対数への変換

\[ 2^{3} = 8\quad\to\quad{3}=\log_{2}{8} \\ 3^{2} = 9\quad\to\quad{2}=\log_{3}{9} \\ 2^{0} = 1\quad\to\quad{0}=\log_{2}{1} \\ 5^{0} = 8\quad\to\quad{0}=\log_{5}{1} \\ 3^{-3} = \dfrac{1}{27}\quad\to\quad{-3}=\log_{3}{\dfrac{1}{27}} \\ 4^{-2} = \dfrac{1}{16}\quad\to\quad{-2}=\log_{4}{\dfrac{1}{16}} \\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = \dfrac{1}{8}\quad\to\quad{3}=\log_{\frac{1}{2}}{\dfrac{1}{8}} \\ \left(\dfrac{1}{3}\right)^{4} = \dfrac{1}{81}\quad\to\quad{4}=\log_{\frac{1}{3}}{\dfrac{1}{81}} \]

対数から指数への変換

\[ \log_{3}{27} = 3 \quad\to\quad 3^{3}=27 \\ \log_{2}{16} = 4 \quad\to\quad 2^{4}=16 \\ \log_{4}{1} = 0 \quad\to\quad 4^{0}=1 \\ \log_{9}{1} = 0 \quad\to\quad 9^{0}=1 \\ \log_{2}{\dfrac{1}{32}} = -5 \quad\to\quad 2^{-5}=\dfrac{1}{32} \\ \log_{7}{\dfrac{1}{49}} = -2 \quad\to\quad 7^{-2}=\dfrac{1}{49} \\ \log_{\frac{1}{3}}{\dfrac{1}{9}} = 2 \quad\to\quad \left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9} \\ \log_{\frac{1}{5}}{\dfrac{1}{125}} = 3 \quad\to\quad \left(\dfrac{1}{5}\right)^3=\dfrac{1}{125} \]

底の変換公式

次の式を底の変換公式という。

\[ \log_{a}{x} = \frac{ \log_{b}{x} }{ \log_{b}{a} } \]

これは二つの対数法則から証明される。

\[ a^{ \log_{a}{x} } = x \\ \log_{a}{ x^n } = n \log_{a}{x} \]

証明

\[ (\log_a{x})(\log_b{a}) = \log_b{a^{\log_a{x}}} \\ = \log_b{x} \]

となり、両辺を $\log_{b}{a}$ で割って

\[ \log_{a}{x} = \frac{ \log_{b}{x} }{ \log_{b}{a} } \]

となる。