確率変数の期待値と分散と標準偏差の公式と意味

確率変数 $X$ のとりうる値 $x_k$ $(k=1,\cdots,n)$ に対して確率 $p_k$ $(k=1,\cdots,n)$ が定まり、 $p_1 + \dots + p_n = 1$ が成り立っているとする。

\[ \begin{array}{cc} \hline X & P \\ \hline x_1 & p_1 \\ x_2 & p_2 \\ \vdots & \vdots \\ x_n & p_n \\ \hline \end{array} \]

この確率分布の期待値、分散、標準偏差は定義してみよう。

期待値

期待値は $m$ または $E(X)$ と書きます。

\begin{eqnarray} m&=&E(X)\\ &=&\sum_{k=1}^{n}x_{k}p_{k}\\ &=&x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots+x_{n}p_{n} \end{eqnarray}

例えばさいころの確率分布

\[ \begin{array}{cc} \hline X & P \\ \hline 1 & \frac{1}{6} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & \frac{1}{6} \\ 4 & \frac{1}{6} \\ 5 & \frac{1}{6} \\ 6 & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array} \]

の期待値は

\begin{eqnarray} m&=&E(X)\\ &=&\sum_{k=1}^{n}x_{k}p_{k}\\ &=&x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots+x_{n}p_{n}\\ &=&1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+\cdots+6\cdot\frac{1}{6}=\frac{7}{2} \end{eqnarray}

と計算します。

期待値は確率変数の確率を考慮した平均値。つまり、さいころの目をずっとふっていると、その平均はだいたい $\dfrac{7}{2}$ に近づくということです。

2枚のコインを投げたときの表の出る枚数の期待値

2枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布の期待値を計算します。

\[ \begin{array}{cc} \hline X & P \\ \hline 0 & \frac{1}{4} \\ 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{1}{4} \\ \hline \end{array} \]

この確率分布の期待値は

\begin{eqnarray} m&=&E(X)\\ &=&0\cdot\frac{1}{4}+1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{4}\\ &=&1 \end{eqnarray}

です。これは「2枚のコインを投げたら、だいたい1枚は表になる」ことを意味します。

3枚のコインを投げたときの表の出る枚数の期待値

\[ \begin{array}{cc} \hline X & P \\ \hline 0 & \frac{1}{8} \\ 1 & \frac{3}{8} \\ 2 & \frac{3}{8} \\ 3 & \frac{1}{8} \\ \hline \end{array} \]

この期待値は

\begin{eqnarray} m&=&E(X)\\ &=&0\cdot\frac{1}{8}+1\cdot\frac{3}{8}+2\cdot\frac{3}{8}+3\cdot\frac{1}{8}\\ &=&\frac{3}{2} \end{eqnarray}

となります。これも直感と合っている。「3枚のコインを投げたらだ、いたい1.5枚は表になる」ということです。

分散

分散は $V(X)$ と表します。

\begin{eqnarray} V(X)&=&\sum_{k=1}^{n}(x_{k-m})^2p_{k}\\ &=&(x_{1}-m)^{2}p_{1}+\cdots+(x_{n}-m)^{2}p_{n}\\ &=&E(X^{2})-{E(X)}^{2} \end{eqnarray}

標準偏差

標準偏差は $\sigma(X)$ と表します。

\begin{eqnarray} \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \end{eqnarray}

標準偏差は分散の平方根です。

（加筆中）