2×2行列(2次正方行列)の行列式の定義と意味(行列と外積の関係)

\[ A= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \] の行列式 $|A|$ を次のように定義する。 \[ |A|=ad-bc \]

行列式は実数の絶対値と同じ記号を使うが、detという記号を使う( $\mathrm{det}(A)$ あるいは $\mathrm{det}\ A$ など)専門書もある。

また行列のように書く場合は

[
|A|=
\left|
\begin{array}{cc}
a & b \
c & d
\end{array}
\right|
]

のように、カッコの代わりに棒を使う。

行列式の計算例

[
(1)\ \
\left|
\begin{array}{cc}
2 & 1 \
4 & 3
\end{array}
\right|

2 \times 3-1 \times 4=2
]

[
(2)\ \
\left|
\begin{array}{cc}
5 & 7 \
7 & 8
\end{array}
\right|

5 \times 8-7 \times 7=-9
]

[
(3)\ \
\left|
\begin{array}{cc}
1 & 0 \
0 & 1
\end{array}
\right|

1 \times 1-0 \times 0=1
]

[
(4)\ \
\left|
\begin{array}{cc}
\cos 30^{\circ} & -\sin 30^{\circ} \
\sin 30^{\circ} & \cos 30^{\circ}
\end{array}
\right|

(\cos 30^{\circ})^2+(\sin 30^{\circ})^2=1
]

行列式の意味

もう一度行列式の定義に戻る。

[
\left|
\begin{array}{cc}
a & b \
c & d
\end{array}
\right|
=ad-bc
]

ここで

[
\vec{x}=(a,\ b)\
\vec{y}=(c,\ d)
]

とすると

[
|A|=ad-bc=\vec{x}\times\vec{y}
]

となる。つまり行列の行列式とは、行列を行ごとに分解してできるベクトルの外積である。ベクトルの外積の定義と公式にあるように、外積は二つのベクトルがなす平行四辺形の面積を意味する。

以上から行列の行列式とは、行列の各行がつくる平行四辺形の面積のことである。

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