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代数学 線形代数

2×2行列(2次正方行列)の行列式の定義と意味(行列と外積の関係)

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正方行列には行列式という値を定義できる。後述のとおり行列式とは一種の「面積」である。

行列式

\[ A= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \]

の行列式 $|A|$ を次のように定義する。

\[ |A|=ad-bc \]

行列式は実数の絶対値と同じ記号を使うが、detという記号を使う( $\mathrm{det}(A)$ あるいは $\mathrm{det}\ A$ など)専門書もある。

行列のように書く場合は

\[ |A|= \left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right| \]

のように、カッコの代わりに棒を使う。

行列式の計算例

\[ \left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array} \right| = 2 \times 3-1 \times 4=2 \]

\[ \left| \begin{array}{cc} 5 & 7 \\ 7 & 8 \end{array} \right| = 5 \times 8-7 \times 7=-9 \]

\[ \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right| = 1 \times 1-0 \times 0=1 \]

\[ \left| \begin{array}{cc} \cos 30^{\circ} & -\sin 30^{\circ} \\ \sin 30^{\circ} & \cos 30^{\circ} \end{array} \right| = (\cos 30^{\circ})^2+(\sin 30^{\circ})^2=1 \]

行列式の意味

もう一度行列式の定義に戻る。

\[ \left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right| =ad-bc \]

ここで

\[ \vec{x}=(a,\ b)\\ \vec{y}=(c,\ d) \]

とすると

\[ |A|=ad-bc=\vec{x}\times\vec{y} \]

となる。つまり行列の行列式とは、行列を行ごとに分解してできるベクトルの外積である。ベクトルの外積の定義と公式にあるように、外積は二つのベクトルがなす平行四辺形の面積を意味する。

ポイント

行列の行列式とは、行列の各行がつくる平行四辺形の面積のことである。

ベクトル 行列

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