定積分の 1/6 公式とその証明：定積分を速く計算する公式

定積分の $\dfrac{ 1 }{ 6 }$ 公式

\[ \int_{ \alpha }^{ \beta } \! ( x - \alpha )( x - \beta ) dx = - \frac{ 1 }{ 6 } ( \beta - \alpha )^3 \]

証明

\begin{split} S &= \int_{ \alpha }^{ \beta } \! ( x - \alpha )( x - \beta ) dx \\ &= \int_{ \alpha }^{ \beta } \! ( x - \alpha )( ( x - \alpha ) + \alpha - \beta ) dx \\ &= \int_{ \alpha }^{ \beta } \! ( x - \alpha )^2 + ( x - \alpha )( \alpha - \beta ) dx \\ &= \int_{ \alpha }^{ \beta } \! ( x - \alpha )^2 + ( \alpha - \beta )( x - \alpha ) dx \\ &= \left[ \frac{ ( x - \alpha )^3 }{ 3 } + \frac{ \alpha - \beta }{ 2 } ( x - \alpha )^2 \right]_{ \alpha }^{ \beta } \end{split}

最後の式は

\begin{split} S &= \left( \frac{ ( \beta - \alpha )^3 }{ 3 } + \frac{ \alpha - \beta }{ 2 } ( \beta - \alpha )^2 \right) - \left( \frac{ ( \alpha - \alpha )^3 }{ 3 } + \frac{ \alpha - \beta }{ 2 } ( \alpha - \alpha )^2 \right) \\ &= \frac{ ( \beta - \alpha )^3 }{ 3 } + \frac{ \alpha - \beta }{ 2 } ( \beta - \alpha )^2 \end{split}

で，$d = \beta - \alpha$ とすると

\begin{split} S &= \frac{ d^3 }{ 3 } + \frac{ -d }{ 2 } d^2 \\ &= \frac{ d^3 }{ 3 } - \frac{ d^3 }{ 2 } \\ &= - \frac{ 1 }{ 6 } d^3 \\ &= - \frac{ 1 }{ 6 } ( \beta - \alpha )^3 \end{split}

となります．

定積分の $\dfrac{ 1 }{ 6 }$ 公式を使った計算問題

\begin{split} \int_2^5 (x - 2)(x - 5) dx &= - \frac{ 1 }{ 6 } ( 5 - 2 )^3 \\ &= - \frac{ 27 }{ 6 } \\ &= - \frac{ 9 }{ 2 } \end{split}

\begin{split} \int_{ -1 }^4 ( x^2 - 3x - 4 ) dx &= \int_{ -1 }^4 ( x - 4 )( x + 1 ) dx \\ &= - \frac{ 1 }{ 6 } ( 4 - ( -1 ) )^3 \\ &= - \frac{ 125 }{ 6 } \end{split}