定積分の定義と計算

$y = f(x)$ の $a \leqq x \leqq b$ における定積分は

\[ F(b) - F(a) \]

と定義されます．$F(x)$ は不定積分です．定積分を考えるときは区間が必要です．

定積分の計算

定積分は

1. 不定積分を求める
2. 区間の端を不定積分に代入する
3. 差を求める

の順に計算します．例として $f(x) = x^2 \ (1 \leqq x \leqq 3)$ の定積分 $S$ を求めます．$x^2$ の不定積分は

\[ F(x) = \frac{ x^3 }{ 3 } + C \]

なので

\begin{split} S &= \left( \frac{ 3^3 }{ 3 } + C \right) - \left( \frac{ 1^3 }{ 3 } + C \right) \\ &= \frac{ 3^3 }{ 3 } - \frac{ 1^3 }{ 3 } \\ &= 3 - \frac{ 1 }{ 3 } \\ &= \frac{ 26 }{ 3 } \end{split}

定積分は $\dfrac{ 26 }{ 3 }$ となります．