3つの連続する整数の和が3の倍数であることの証明(文字式の利用)

$3$ つの連続する整数の和は $3$ の倍数になる。

例を見てみます。

\[ 1+2+3=6=2\times{3} \] \[ 12+13+14=39=13\times{3} \] \[ 56+57+58=171=57\times{3} \]

$3$ つの連続する整数の和は $3$ の倍数になっています。また上の例をよく見ると、和はいつも真ん中の数の $3$ 倍になっています。

証明その $1$

$3$ つの連続する整数を $a,\ a+1,\ a+2$ とすると、これらの和 $S$ は

\begin{eqnarray}
S&=&a+(a+1)+(a+2)\
&=&3a+3\
&=&3(a+1)
\end{eqnarray
}

となり $a+1$ を $3$ 倍した数となります。よって $3$ つの連続する整数の和は $3$ の倍数になります。

ここで $a+1$ は最初にあげた $3$ つの連続する整数を $a,\ a+1,\ a+2$ の真ん中の数になっています。

証明その $2$

今度は $3$ つの連続する整数を $a-1,\ a,\ a+1$ とします。これらの数がきちんと連続していることに注意してください。和 $S$ は

\begin{eqnarray}
S&=&(a-1)+a+(a+1)\
&=&3a
\end{eqnarray
}

となり $a$ を $3$ 倍した数となります。よって $3$ つの連続する整数の和は $3$ の倍数になります。

どちらの証明も試験では◯になりますが、後者の証明のほうがスマートかもしれません。