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中2連立方程式の解き方と計算問題(代入法と加減法)

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連立方程式は代入法と加減法という二つの解き方があります。加減法はやや難しいため、最初は代入法を勉強しましょう。代入法は x または y の式をもう一つの式に代入するというやり方です。

例題

x = 2y + 1
3x - 5y = 5

解答

x = 2y + 1 を 3x - 5y = 5 に代入すると

3 (2y + 1) - 5y = 5
6y + 3 - 5y = 5
y + 3 = 5
y = 2

となる。y = 2 を x = 2y + 1 に代入すると

x = 2 × 2 + 1 = 5

となる。以上より

x = 5
y = 2

となる。

問題

-2x + y = -3
y = 4x - 5

解答

y = 4x - 5 を -2x + y = -3 に代入すると

-2x+(4x-5)=-3
2x-5=-3
2x=2
x=1

となる。x = 1 を y = 4x - 5 に代入すると

x = 4 × 1 - 5 = -1

となる。以上より

x = 1
y = -1

となる。

連立方程式の加減法

x = ... や y= ... といった式がない連立方程式は加減法で求めます。

2x + 3y = 8
5x - 7y = -9

この連立方程式は次のように解きます。

① 2x + 3y = 8
② 5x - 7y = -9

①と②の x の係数をそろえる。① × 5 と ② × 2 を計算する。

10x + 15y = 40
10x - 14y = -18

上の式から下の式を引く。このとき左辺は左辺、右辺は右辺で引く。左辺と右辺を別のものと考えよう。左辺を見ると 10x と 10x で消える。15y - (-14y) = 29y である。右辺は 40 - (-18) = 58 だから

29y = 58
y = 2

となる。最初の式 2x + 3y = 8 に代入すると

2x + 3 × 2 = 8
2x + 6 = 8
2x = 2
x = 1

となり

x = 1
y = 2

となる。

問題

次の連立方程式を解きなさい。

(1)
x = -3y + 1
2x + 5y = -1

(2)
x = 4y + 5
3x + 9y = -6

(3)
y = -3x + 4
2x + 5y = 46

(4)
y = -3x + 1
5x + 2y = -1

解答

(1)
x = -3y + 1 を 2x + 5y = -1 に代入すると

2(-3y + 1) + 5y = -1
-6y + 2 + 5y = -1
-y + 2 = -1
-y = -3
y = 3

となる。y = 3 を x = -3y + 1 に代入すると

x = (-3) × 3 + 1 = -8

となる。以上より

x = -8
y = 3

となる。

(2)
x = 4y + 5 を 3x + 9y = -6 に代入すると

3(4y + 5) + 9y = -6
12y + 15 + 9y = -6
21y = -21
y=-1

となる。y = -1 を x = 4y + 5 に代入すると

x = 4 × (-1) + 5 = 1

となる。以上より

x = 1
y = -1

となる。

(3)
y = -3x + 4 を 2x + 5y = 46 に代入すると

2x + 5(-3x + 4) = 46
2x - 15x + 20 = 46
-13x = 26
x = -2

となる。 $x=-2$ を $y=-3x+4$ に代入すると
[
y=(-3)\cdot{(-2)}+4=10
]
となる。以上より
[
\left{
\begin{array}{l}
x=-2\
y=10
\end{array}
\right.
]
となる。

$(4)$
$y=-3x+1$ を $5x+2y=-1$ に代入すると
[
5x+2(-3x+1)=-1\
5x-6x+2=-1\
-x=-3\
x=3
]
となる。 $x=3$ を $y=-3x+1$ に代入すると
[
y=(-3)\cdot{3}+1=-8
]
となる。以上より
[
\left{
\begin{array}{l}
x=3\
y=-8
\end{array}
\right.
]
となる。

連立方程式は一次方程式の知識が必要なため、一次方程式がちょっと不安という方は一次方程式を復習してからこのページを読んでください。またここでは一つのやり方しか説明しませんが、実は連立方程式の解法は何通りもあり、とても奥が深い。

まずは基本的な計算問題をしっかり解けるようになろう!

はじめに。 連立方程式2 連立方程式3 連立方程式4

連立方程式はあっけなく終わります。もう一度おさらいすると、

・二つの方程式を連結する
・Yを省略
・Xを解く
・もとの式に求めたXを代入する

となります。プリントで言っているように、連立方程式の連立は連結のことだと思ってください。連結するとYが消えてしまい、Xだけの一次方程式に帰着されるわけですね。

例題

連立方程式の例題1 連立方程式の例題2 これまでやってきたことをまとめるとこうなる

練習問題

連立方程式問題1 連立方程式問題2 連立方程式問題3 連立方程式問題4 連立方程式問題5 連立方程式問題6 連立方程式問題7 連立方程式問題8 連立方程式問題9

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