連立方程式の例題（中学数学）

次の連立方程式を解きなさい。

$(1)$

\[ x = -3y + 1 \\ 2x + 5y = -1 \]

$(2)$

\[ x = 4y + 5 \\ 3x + 9y = -6 \]

$(3)$

\[ y = -3x + 4 \\ 2x + 5y = 46 \]

$(4)$

\[ y = -3x + 1 \\ 5x + 2y = -1 \]

解答

$(1)$

$x = -3y + 1$ を $2x + 5y = -1$ に代入すると

\[ 2(-3y + 1) + 5y = -1 \\ -6y + 2 + 5y = -1 \\ -y + 2 = -1 \\ -y = -3 \\ y = 3 \]

となる。$y = 3$ を $x = -3y + 1$ に代入すると

\[ x = (-3) × 3 + 1 = -8 \]

となる。以上より

\[ x = -8 \\ y = 3 \]

となる。

$(2)$

$x = 4y + 5$ を $3x + 9y = -6$ に代入すると

\[ 3(4y + 5) + 9y = -6 \\ 12y + 15 + 9y = -6 \\ 21y = -21 \\ y = -1 \]

となる。$y = -1$ を $x = 4y + 5$ に代入すると

\[ x = 4 × (-1) + 5 = 1 \]

となる。以上より

\[ x = 1 y = -1 \]

となる。

$(3)$

$y = -3x + 4$ を $2x + 5y = 46$ に代入すると

\[ 2x + 5(-3x + 4) = 46 \\ 2x - 15x + 20 = 46 \\ -13x = 26 \\ x = -2 \]

となる。 $x=-2$ を $y=-3x+4$ に代入すると

\[ y = (-3) \cdot (-2) + 4 = 10 \]

となる。以上より

\[ \left\{ \begin{array}{l} x = -2 \\ y = 10 \end{array} \right. \]

となる。

$(4)$

$y=-3x+1$ を $5x+2y=-1$ に代入すると

\[ 5x + 2(-3x+1) = -1 \\ 5x - 6x + 2 = -1 \\ -x = -3 \\ x = 3 \]

となる。 $x=3$ を $y=-3x+1$ に代入すると

\[ y = (-3) \cdot 3 + 1 = -8 \]

となる。以上より

\[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \\ y = -8 \end{array} \right. \]

となる。